多项式

这里是一些模板然而并不会写教程

一些求法

$FFT$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
const double Pi=acos(-1.0);
struct complex
{
double x,y;
complex (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
complex operator + (const complex &B)
{return complex(x+B.x,y+B.y);}
complex operator - (const complex &B)
{return complex(x-B.x,y-B.y);}
complex operator * (const complex &B)
{return complex(x*B.x-y*B.y,B.x*y+x*B.y);}
}a[maxn],b[maxn];
int n,m,r[maxn],l,lim;
void FFT(complex *A,int type)
{
rep(i,0,lim-1)
if (i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
for(int R=mid<<1,j=0;j<lim;j+=R){
complex w(1,0);
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){
complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];
A[j+k]=x+y;
A[j+mid+k]=x-y;
}
}
}
}

$NTT$

把单位根换成原根

分治NTT

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
void mul(int *a,int *b)
{
NTT(a,1),NTT(b,1);
rep(i,0,lim-1) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
NTT(a,-1);
}
inline void init(int n)
{
lim=1,l=0;
while(lim<=n)lim=lim<<1,++l;
rep(i,0,lim-1) r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1))),A[i]=B[i]=0;
}
void cdqNTT(int l,int r)
{
if (l==r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
cdqNTT(l,mid);
init(r-l+1);
rep(i,l,mid) A[i-l]=a[i];
rep(i,0,r-l) B[i]=b[i];
mul(A,B);
rep(i,mid+1,r) a[i]-=A[i-l],a[i]=a[i]<0?a[i]+mod:a[i];
cdqNTT(mid+1,r);
}

多项式求逆

$MTT$

此坑待填暂时就不填了吧

多项式求导

多项式积分

多项式求对数函数

多项式除法

来源

$f(x)$为$n$次多项式
设$f_R(x)=x^nf(\frac{1}{x})$
容易发现$f_R(x)$为$f(x)$翻转得来,即$f_R[i]=f[n-i]​$

下面开始推柿子

多项式开根

来源

多项式exp

具体看这里

多项式三角函数

直接

然后$i$是有二次剩余的,直接当方程解出来就好了

多项式反三角函数

两边求导,再积分回去就好了柿子懒得写了

以上两个毒瘤模板好像没什么用

一个综合的板子

写的很naive

还是写点食用说明吧

​ 1.支持对数$Ln$,指数$Exp$,求逆$Inv$,$k$次方$Pow$,开根$Sqrt$,四则运算,返回多项式

​ 2.可以加减乘除一个$int$,以及一个$int$加减乘多项式

​ 3.对数等函数可以加入一个参数$n$,表示结果对$x^n$取模

​ 4.可以输出前$n$项(默认为全部输出),把一个数组转化为多项式

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345

#define maxn 900005
#define mod 998244353
#define g 3
namespace Polynomial {
inline int qpow(int x, int k=mod-2) {
int ans = 1;
for (; k; k >>= 1, x = 1ll * x * x % mod)
if (k & 1) ans = 1ll * ans * x % mod;
return ans;
}
inline int Mod(int x) {
return x>=mod?x-mod:x;
}
long unsigned int lim;
int w[maxn];
inline void Init(long unsigned int len){
lim=1;
while (lim <= len) lim <<= 1;
for(long unsigned int i=1; i<lim; i<<=1){
w[i]=1;
int t=qpow(3, (mod-1)/i/2);
for(long unsigned int j=1; j<i; ++j) w[i+j]=1ll*w[i+j-1]*t%mod;
}
}
#define initT(x) t##x=(*(F1+x))*(*(W+x))%mod
#define doitT(x) (*(F1+x))=(*(F0+x)+mod-t##x),(*(F0+x))+=t##x
#define tido 4
inline void DFT(vector<int> &f, long unsigned long n=lim){
static unsigned long long F[maxn];
f.resize(n);
for(unsigned long int i=0, j=0; i<n; ++i){
F[i]=f[j];
for(unsigned long int k=n>>1; (j^=k)<k; k>>=1);
}
for(unsigned long int i=1; i<n; i<<=1) {
for(unsigned long int j=0; j<n; j+=i<<1){
int *W=w+i;
unsigned long long *F0=F+j, *F1=F+j+i,k=j;
unsigned long long t0,t1,t2,t3;
for(;k+tido<j+i;k+=tido,W+=tido,F0+=tido,F1+=tido) {
initT(0); initT(1);
initT(2); initT(3);
doitT(0); doitT(1);
doitT(2); doitT(3);
}
for(; k<j+i; ++k, ++W, ++F0, ++F1){
unsigned long long t=(*F1)*(*W)%mod;
(*F1)=*F0+mod-t, (*F0)+=t;
}
}
}
for(unsigned long int i=0; i<n; ++i) f[i]=F[i]%mod;
}
#undef initT
#undef doitT
#undef todi
inline void IDFT(vector<int> &f, int n=lim){
// f.resize(n);
reverse(f.begin()+1, f.end());
DFT(f, n);
int I=qpow(n);
for(int i=0; i<n; ++i) f[i]=1ll*f[i]*I%mod;
}
inline void copy(int *A,vector<int> vt,int sz,int L) {
if (sz>int(vt.size())) sz=vt.size();
for(int i=0;i<sz;i++) A[i]=vt[i];
for(int i=sz;i<L;i++) A[i]=0;
}
inline pair<int,int> intmul(pair<int,int> x, pair<int,int> y,int f){
return make_pair((1ll*x.first*y.first+1ll*x.second*y.second%mod*f)%mod,
(1ll*x.second*y.first+1ll*x.first*y.second)%mod);
}
inline int intsqrt(int a){
if(a<=1) return a;
if(qpow(a, (mod-1)/2)!=1) return -1;
int x, f;
do x=(rand())%(a-1)+1; while(qpow(f=(1ll*x*x-a+mod)%mod, (mod-1)/2)==1);
pair<int,int> ans=make_pair(1, 0), t=make_pair(x, 1);
for(int i=(mod+1)/2; i; i>>=1, t=intmul(t, t, f))
if(i&1) ans=intmul(ans, t, f);
return min(ans.first, mod-ans.first);
}
struct Poly {
vector<int> F;
void cp(vector<int>&H,long unsigned int n) const {
H.clear();
if (n>F.size()) {
for (long unsigned int i=0;i<F.size();i++)
H.push_back(F[i]);
// H.resize(n);
}
else {
for(long unsigned int i=0;i<n;i++) H.push_back(F[i]);
}
}
void operator = (const Poly &B) {F=B.F;}
const Poly operator + (const Poly &B) const{
Poly res;
res.F.resize(std::max(F.size(),B.F.size()));
for(long unsigned int i=0;i<F.size();i++)
res.F[i]=F[i];
for(long unsigned int i=0;i<B.F.size();i++)
res.F[i]=Mod(res.F[i]+B.F[i]);
return res;
}
void operator +=(const Poly &B) {
if(B.F.size()>F.size()) F.resize(B.F.size());
for(long unsigned int i=0;i<B.F.size();i++)
F[i]=Mod(B.F[i]+F[i]);
}
Poly operator - (const Poly &B) const{
Poly res;
res.F.resize(std::max(F.size(),B.F.size()));
for(long unsigned int i=0;i<F.size();i++)
res.F[i]=F[i];
for(long unsigned int i=0;i<B.F.size();i++)
res.F[i]=Mod(res.F[i]-B.F[i]+mod);
return res;
}
void operator -=(const Poly &B) {
if(B.F.size()>F.size()) F.resize(B.F.size());
for(long unsigned int i=0;i<B.F.size();i++)
F[i]=Mod(F[i]-B.F[i]+mod);
}
Poly operator * (const Poly &B) const{
Poly res,temp;
int N=F.size()+B.F.size()-1;
Init(N);
res.F=F,temp.F=B.F;
DFT(res.F),DFT(temp.F);
for(long unsigned int i=0;i<lim;i++)
res.F[i]=1ll*res.F[i]*temp.F[i]%mod;
IDFT(res.F);
res.F.resize(N);
return res;
}
void operator *= (const Poly &B) {
*this=*this*B;
}
Poly operator * (const int x) const{
Poly res;
int X=Mod(x+mod);
for(long unsigned int i=0;i<F.size();i++)
res.F.push_back(1ll*F[i]*X%mod);
return res;
}
void operator *= (const int x) {
int X=Mod(x+mod);
for(long unsigned int i=0;i<F.size();i++)
F[i]=1ll*F[i]*X%mod;
}
Poly operator / (const int x) const{
return (*this)*(qpow(Mod(x+mod),mod-2));
}
void operator /= (const int x) {
int p=qpow(Mod(x+mod),mod-2);
for(long unsigned int i=0;i<F.size();i++)
F[i]=1ll*F[i]*p%mod;
}
Poly operator + (const int x) const{
Poly res=*this;
res.F[0]=Mod(res.F[0]+x),res.F[0]=Mod(res.F[0]+mod);
return res;
}
void operator += (const int x) {F[0]=Mod(F[0]+x),F[0]=Mod(F[0]+mod);;}
Poly operator - (const int x) const{
Poly res=*this;
res.F[0]=Mod(res.F[0]-x),res.F[0]=Mod(res.F[0]+mod);
return res;
}
void operator -= (const int x) {F[0]=Mod(F[0]-x);F[0]=Mod(F[0]+mod);}
Poly __Inv(int n) const {
if (n==1) {
Poly res;
res.F.push_back(qpow(F[0]));
return res;
}
Poly res=__Inv((n+1)>>1);
Poly H;
cp(H.F,n);
Init(n<<1);
DFT(res.F),DFT(H.F);
for(long unsigned int i=0;i<lim;i++)
res.F[i]=1ll*Mod(2-1ll*res.F[i]*H.F[i]%mod+mod)*res.F[i]%mod;
IDFT(res.F);
res.F.resize(n);
return res;
}
Poly Inv(int n=-1) const {
if (n==-1) n=F.size();
return __Inv(n);
} //多项式求逆
Poly operator / (const Poly &B) const {
Poly Gr=B,Q=*this;
Q.R(),Gr.R();
int N=F.size()-B.F.size()+1;
Gr.F.resize(N);
Gr=Gr.Inv();
Q=Q*Gr;
Q.F.resize(N);
Q.R();
return Q;
}
void operator /= (const Poly &B) {*this=*this/B;}
Poly operator % (const Poly &B) const {
Poly Q=*this/B;
Q*=B;
Q=*this-Q;
Q.F.resize(B.F.size()-1);
return Q;
}
void operator %= (const Poly &B) {*this=*this%B;}
void R() {reverse(F.begin(),F.end());}
inline void IN(int *a,int n) {
F.clear();
for(int i=0;i<n;i++) F.push_back(Mod(a[i]+mod));
}
inline void OUT(int len=-1) {
if (len==-1) len=F.size();
for(int i=0;i<len;i++)
printf("%d ",F[i]);
putchar('\n');
}
Poly Derivative() const{
Poly res;
for(long unsigned int i=0;i<F.size()-1;i++)
res.F.push_back(1ll*(i+1)*F[i+1]%mod);
//res.F.push_back(0);
return res;
} //多项式求导
Poly Integral() const {
Poly res,inv;
inv.F.resize(F.size());
inv.F[1]=1;
for(long unsigned int i=2;i<F.size();i++){
inv.F[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv.F[mod%i]%mod;
}
res.F.push_back(0);
for(long unsigned int i=1;i<F.size();i++)
res.F.push_back(1ll*inv.F[i]*F[i-1]%mod);
return res;
} //多项式积分
Poly Ln(int n=-1) const {
if (n==-1) n=F.size();
Poly res;
res=Derivative()*Inv(n);
res.F.resize(n);
res=res.Integral();
return res;
} //多项式对数函数
Poly __Sqrt(int n) const {
if (n==1) {
Poly res;
res.push(intsqrt(F[0]));
return res;
}
static Poly res,H,G;
res=__Sqrt((n+1)>>1);
cp(G.F,n);
H=G*res.Inv(n);
res.F.resize(n);
for(int i=0;i<n;i++)
res.F[i]=1ll*(H.F[i]+res.F[i])*((mod+1)>>1)%mod;
return res;
}
Poly Sqrt(int n=-1) const{
if (n==-1) n=F.size();
return __Sqrt(n);
} //多项式开根
Poly __Exp(int n) const{
if (n==1){
Poly res;
res.push(1);
return res;
}
Poly res=__Exp((n+1)>>1);
Poly B=res.Ln(n),P;
cp(P.F,n);
B.F[0]=Mod(F[0]-B.F[0]+1+mod);
for(int i=1;i<n;i++) B.F[i]=Mod(P.F[i]-B.F[i]+mod);
res*=B;
res.F.resize(n);
return res;
} //多项式指数函数
Poly Exp(int n=-1) const{
if (n==-1) n=F.size();
return __Exp(n);
}
Poly Pow(int k,int md=-1) const{
if (md==-1) md=F.size();
return (Ln(md)*k).Exp(md);
}
int Calc(int x) {
vector <int> :: iterator it=F.end()-1;
int res=1ll*x*(*it)%mod;
--it,res=Mod(res+*it);
for(--it;it!=F.begin();--it)
res=(1ll*res*x+*it)%mod;
res=(1ll*res*x+(*it))%mod;
return res;
}
inline void push(int x) {F.push_back(x);}
inline Poly cos(int n=-1) const{
if (n==-1) n=F.size();
int I=intsqrt(mod-1);
Poly res;
if (I==-1) return res;
res=((*this)*I).Exp(n);
return (res+res.Inv(n))/2;
}
inline Poly sin(int n=-1) const{
if (n==-1) n=F.size();
int I=intsqrt(mod-1);
Poly res;
if (I==-1) return res;
res=((*this)*I).Exp(n);
return (res-res.Inv(n))/(2*I%mod);
}
inline Poly arcsin(int n=-1) const {
if (n==-1) n=F.size();
Poly res=(*this)*(*this);
res.F.resize(n);
res=res*(-1)+1;
res=(*this).Derivative()*((res.Sqrt(n)).Inv(n));
res.F.resize(n),res=res.Integral();
return res;
}
inline Poly arctan(int n=-1) {
if (n==-1) n=F.size();
Poly res=(*this)*(*this);
res.F.resize(n);
res=res+1;
res=(*this).Derivative()*(res.Inv(n));
res.F.resize(n),res=res.Integral();
return res;
}
};//事实上这只是一只重载了运算符的vector
Poly operator + (const int A,const Poly B) {return B+A;}
Poly operator * (const int A,const Poly B) {return B*A;}
Poly operator - (const int A,const Poly B) {return B*(-1)+A;}
//请在有氧环境下使用
}
using Polynomial::Poly;
using Polynomial::qpow;
avatar
contest0110

  1. 1. 一些求法
    1. 1.1. $FFT$
    2. 1.2. $NTT$
    3. 1.3. 分治NTT
    4. 1.4. 多项式求逆
    5. 1.5. $MTT$
    6. 1.6. 多项式求导
    7. 1.7. 多项式积分
    8. 1.8. 多项式求对数函数
    9. 1.9. 多项式除法
    10. 1.10. 多项式开根
    11. 1.11. 多项式exp
    12. 1.12. 多项式三角函数
    13. 1.13. 多项式反三角函数
  2. 2. 一个综合的板子